Řešení: Dva školáci slaví narozeniny

Postupujeme opačně, tedy snažíme se spočítat, jaká je pravděpodobnost, že dvě děti nemají ve stejný den narozeniny.

Začneme u třídy s jedním dítětem. Tam je pravděpodobnost jedna (neboli sto procent), jelikož je jasné, že nikdo jiný mít narozeniny nemůže. Pokud budou ve třídě dvě děti, spočítáme pravděpodobnost jako součin pravděpodobností dvou nezávislých událostí.

Tou první je pravděpodobnost, že má narozeniny první student (tedy 1) a tou druhou pravděpodobnost, že ten druhý má narozeniny v jakýkoliv jiný den, tedy 364/365.

Když budou ve třídě tři děti, je to součin už tří pravděpodobností. První je 1, druhá 364/365 a třetí 363/365 (tedy pravděpodobnost, že dotyčné dítě má narozeniny v kterýkoliv jiný den než ti ostatní dva). A tak můžeme pokračovat.

Pravděpodobnost, že ve třídě mají dvě dotyčné děti narozeniny ve stejný den, se spočítá odečtením pravděpodobnosti, že nemají, od jedné.

Jak tedy zjistíme, kolk dětí musí být ve tříde, aby pravděpodobnost byla přes padesát procent? počítáme řadu 1 x 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 … atd, a to do chvíle, kdy výsledek klesne pod 0,5. Potom počet součinitelů se v tom případě rovná počet dětí.

V našem případě je po vynásobení součinitelem 343/365 výsledek 0,492703, tedy pravděpodobnost zhruba 49,3 procenta, že dva žáci nemají ve stejný den raozeniny. Pravděpodobnost, že ve třídě o 23 dětech mají dvě děti ve stejný den narozeniny, činí zhruba 50,7 procenta. Výsledek je tedy 23.